Como medir el tamaño del pixel de un CCD

Mediciones de ángulos aparentes desde una CCD
Por Fernando Mazzone y Miguel Arizu
12/11/2007

” Cuando puedes medir de lo que estas hablando y lo expresas en números, sabes algo sobre eso; pero cuando no puedes medirlo, cuando no puedes expresarlo en números, tu conocimiento es pobre y no satisfactorio: puede ser el comienzo del conocimiento, pero haz apenas comenzado en el pensamiento científico ”

William Thomson, Lord Kelvin (1824-1907)

Propósitos

El objetivo de este escrito es introducir métodos, para determinar los ángulos aparentes entre objetos en el cielo o terrestres a partir de mediciones efectuadas sobre fotografías tomadas con cámara digital.
El conocimiento de esta técnica nos permitirá entre otras cosas:

1. Calcular el campo de visión de nuestra cámara (FOV) en una determinada distancia focal. Lo que puede ser útil al momento de decidir con que distancia focal efectuaremos nuestras fotografías.
2. Cuantificar el movimiento de un objeto sobre el fondo de estrellas.
3. Calcular la distancia angular entre 2 objetos.
4. Conocer la resolución de nuestra cámara.
5. Calcular por el método del paralaje , usado desde la antigüedad por Hiparco y Aristarco en Grecia, la distancia entre nosotros y un objeto celeste cercano, o a objetos terrestres.

¿A que llamamos ángulo aparente?

Es el ángulo que forman dos puntos cualesquiera y un observador. La figura 1 muestra el ángulo al que nos referimos, en la misma se observa un ojo dirigiendo dos visuales a dos objetos.
Supongamos que se quiera determinar el ángulo aparente, respecto al ojo, que separa a las 2 personas.
El ángulo que se quiere conocer es el BAC.

Figura 1: Ángulo Aparente

La medición de este ángulo utilizando una cámara digital implica conocer la dimensión física de un pixel del sensor CCD.

1.Dimensión del pixel, su determinación

Un sensor CCD es una matriz de micro sensores, cada uno de ellos llamado pixel. Lo que necesitamos conocer son las dimensiones de cada uno de estos pixel. Normalmente parece ser que los pixels no son cuadrados sino que son rectangulares en los CCD, mientras que en los CMOS si son cuadrados. No obstante la diferencia con un cuadrado es muy pequeña y de ahora en más, en aras de la simplicidad, los supondremos cuadrados.
Hemos buscado en la web métodos para determinar la longitud de los pixels, y el método que encontramos es el descrito en segundo lugar. No obstante también sugerimos la consideración del primer método, que es más natural y desconocemos la causa de que no se haya usado.

Por supuesto que si por algún motivo se conoce las dimensiones del pixel el paso de determinar su longitud es innecesario.

Antes de continuar quisiéramos aclarar que la longitud del pixel no se puede calcular sobre la fotografía ya que una fotografía es una versión ampliada de lo que el CCD leyó.

Como, para cualquiera de los métodos necesitamos medir distancias sobre fotografías, describiremos, en primer lugar, esta herramienta del photoshop.

Midiendo distancias con Photoshop

La herramienta de medición de distancias se localiza en la barra de herramientas como muestra la figura 2. Su uso es completamente intuitivo, se pincha con el botón izquierdo del ratón en un punto y se arrastra, manteniendo apretado el botón, hasta soltarlo en el punto del que queramos averiguar su distancia al primero. El valor de esta distancia se lee en la ventana Info del Photoshop. En el caso de la figura 2 medimos el diámetro aparente de la luna, dando como resultado 1092.47 pixels.

Figura 2: Medición de la Luna

Notar que en la ventana Info podemos cambiar la unidad de medición desplegando el menú que se abre al picar en la cruz de la izquierda, no obstante sólo usaremos pixels como unidad de medición, la razón es muy sencilla: 10 pixels en la foto representan 10 pixels en el sensor y esto no se mantiene obviamente con otras unidades de medida.

1.1 Primer Método (intuitivo)

Si conociéramos la dimensión del CCD y cuantos pixels contiene, una simple cuenta nos daría el tamaño de un píxel.

Para averiguar las dimensiones del CCD recurrimos a la página http://www.dpreview.com , donde hay bastante información sobre muchos modelos de cámaras.

Por ejemplo, tomemos el caso de la Kodak z710. En la página de especificaciones (ver figura3) vemos que el sensor tiene 3072 x 2304 pixels

Figura 3: Especificaciones Kodak z710

Por otro lado la dimensión del sensor es de 1/2.5″, este no es el dato que necesitamos, es una convención sobre longitudes de sensores que no es la medida que buscamos, pero pinchando en el signo de pregunta podemos averiguar más sobre esta convención y en particular averiguar la longitud del sensor de 1/2.5″, esto lo hacemos en la tabla de la figura 4 donde se muestran los tamaños de sensores más comunes: así vemos que el tamaño de un sensor de 1/2.5″ es de 5.760×4.290 milímetros.

Así que si dividimos la longitud del sensor por la cantidad de pixels que entran, nos daría el tamaño de uno solo.

1 micrón equivale a la milésima parte de un milímetro. En este punto uno se sorprende del ingenio humano que logró crear un dispositivo tan pequeño.

En tanto que

Como vemos nos dieron dos resultados diferentes, aunque próximos, esto significa que el píxel es rectangular. Podemos adoptar el promedio de los dos como longitud del pixel, esto no es correcto pero simplifica los cálculos posteriores.

1.2  Segundo método (semejanza de triángulos)

Descripción del método

El segundo método, que es el que encontramos en [ 1 ], tiene la ventaja que no entraña conocer las dimensiones del sensor, hay que hacer un pequeño y divertido experimento y utilizar un poco de semejanza de triángulos.

El experimento consiste en situar una regla apoyada en una pared (puede ser un metro de carpintero o una cinta métrica) a una distancia considerable, y tomarle fotografías con distintas distancias focales (zoom), (¡Cuidado! el zoom tiene que ser óptico el zoom digital no sirve para esto). En la figura 5 podemos ver un esquema simplificado de lo que sucede.

Figura 5: Formación de imagen de una regla

La distancia a la que situamos la regla de la cámara debe ser lo más lejos posible pero cuidando que la escala graduada se pueda distinguir en la foto.

Tratemos que el comienzo (o lo que usemos como “ 0” ) este lo más centrado posible en la foto.

La distancia que separa la cámara de la regla la llamaremos d (hay que medirla lo más precisamente posible). Como dijimos, procedemos a tomar varias fotografías de la regla para distintos valores de distancia focal (si su cámara no tiene zoom óptico no se preocupe tome sólo una fotografía).

Listo el tema fotos! Ahora nos vamos al Photoshop y elegimos alguna distancia en la regla que esté en el campo de visión de todas las fotos, a esta distancia la llamaremos r . Como ejemplo mostramos el experimento en un caso concreto.

Se situó la regla a 4,67m de la cámara, es decir a d =4670 mm , y se midieron 20cm, es decir r =200 mm . En la figura 6 vemos los resultados a los que arribamos.

Figura 6: Fotos experimento

En el explorador de archivos (file browser ver figura 6) buscamos las fotos tomadas y leemos la distancia focal exacta (f). Este dato debería estar en el encabezado de la foto y debería ser leído por photoshop, al menos eso ocurre con varias marcas de cámaras como las Sony, Canon y Kodak, desconocemos si todas las cámaras lo harán, sin este dato no podemos continuar. Por otro lado medimos en pixels (¡ojo! no usar otro unidad de medida) la longitud que ocupa la distancia r en la foto a este valor lo llamamos n .

Llevamos todas las distancias que obtuvimos a mm (milímetros).

Luego la longitud del pixel, que llamamos s , viene dado por la fórmula:

Como hemos tomado diversas fotos con distintas focales podemos disponer los distintos datos como en la tabla 1 , recuerden que r y d están fijos. Nosotros hicimos la tabla para fotos tomadas con la Kodak z710. Los valores de s que obtendrán serán aproximadamente iguales a los del primer método pero no los mismos, adoptemos como valor de s el promedio de los valores encontrados.

Tabla 1: Tabla de resultados

La diferencia con el primer método es de 0.042 micrones que puede parecer poco pero representa el 2% de la longitud estimada del pixel.

Este valor del tamaño del sensor que hemos obtenido, no varía (para la misma cámara) y conocerlo nos va a permitir poder calcular otras cosas interesantes.

Hicimos esta misma experiencia con la Canon Rebel 350D que tiene un sensor CMOS y no CCD, y obtuvimos los siguientes resultados

Tamaño del sensor por “método intuitivo”

s = 6,38 x 10 -3 mm

Tamaño del sensor por “método de semejanzas”

s = 6,42 x 10 -3 mm

2 Determinación de un ángulo aparente en una fotografía

Conociendo ya el valor de s de nuestro CCD (o CMOS), podemos usarlo ahora para determinar el ángulo aparente theta entre 2 objetos, en cualquier fotografía tomada con la misma cámara, vamos a necesitar una calculadora científica, o la calculadora del Google o, para los viejos nostálgicos del pasado (como nosotros), una tabla de funciones trigonométricas, el ángulo theta se determina por la fórmula:

donde n nuevamente es la longitud en pixels medida con photoshop, de aquello que queramos determinar su ángulo aparente, s es la longitud del pixel que calculamos antes, f es la distancia focal utilizada y arctan es la inversa de la función tangente.

Podemos hacer una apoximación en caso de no contar con una calculadora científica, y diremos que

Para que la fórmula funcione, n hay que medirlo en píxel, s y f en milímetros.

(para los que no aguantan su curiosidad digamos que al desarrollar el arctan por serie de Taylor grado 1, vemos que arctan x y x tienen valores muy próximos para pequeños ángulos, y el producto es para convertir, ya que 1 radian = 206264,8seg).

Lo que resulta interesante es que las fórmulas funcionan bien aún que utilicemos la cámara acoplada a otro instrumento óptico, por ejemplo un telescopio, sólo hay que conocer la distancia focal resultante del acoplamiento.

Y aquí aparece otro dato que puede ser de interes!

Para una cámara montada afocalmente tenemos que

Distancia focal final = distancia focal c á mara × aumentos teles

Veamos un ejemplo, determinar el ángulo aparente del diámetro de la luna en una foto tomada el 19/09/07 a las 1h56min.

La foto en cuestión se tomó con un telescopio de 900mm de distancia focal y con un ocular de 25mm, esto nos da:

En el explorador de archivos (ver figura leemos la distancia focal exacta que tuvo la cámara durante la fotografía, esta resulta ser de 6.3mm.
Así la distancia focal final del conjunto cámara + ocular + telescopio es:

f = 6.3 mm × 36 = 226.8 mm

Figura 8: Distancia focal

Por otro lado medimos la cantidad de pixels (ver figura 9) que representa el diámetro de la luna con el photoshop, dándonos como resultado 1092.47 pixels.

Figura 9: Diámetro en pixels de la luna

Recordando que el valor de s que calculamos para la Kodak era de 1,868 micrones

Reemplazamos todos los datos en la fórmula (1) y tenemos que el diámetro aparente de la luna el 19/09/07 a las 1h 56′ era de:

Si usamos la fórmula por aproximación, nos daría:

Como podrán ver la fórmula por aproximación es bastante exacta cuando operamos con ángulos pequeños.

Pero lo más importante, cual era el diámetro aparente de la luna esa noche?

Consultado con el Virtual Moon Atlas ese día el diámetro aparente de la luna era de 30’09″, es decir tenemos un error de 49″.

No está mal para la Luna , pero para la medición de un ángulo más chico, por ejemplo el paralaje de una estrella cercana, se necesitaría mejorar estos valores. Nos encantaría que se pudiera mejorar estos resultados, quizás tomándose el trabajo de medir la longitud horizontal y vertical del pixel se logre, o haciendo muchas mediciones del diámetro en pixels de la luna y promediándolos.

Referencias

[1]

Stephen W. Hughes: Measuring the orbital period of the Moon using a digital camera . Phys. Educ. 41 144-150 (2006) doi:10.1088/0031-9120/41/2/004. http://www.iop.org/EJ/abstract/0031-9120/41/2/004/ .

[2]

Michael A. Covington: Astrophotography for the Amateur (1999) Cambridge University Press.